Tema 1.3 (Chemija IV)

Reikšminiai skaitmenys atliekant skaičiavimus

Tikslùs dỹdis, apýtikslis dỹdis, pròcentai, skaičių apvãlinimas, tañkis, papildomas skaitmuõ.

Tikslūs ir apytiksliai dydžiai

Visi kokiais nors prietaisais išmatuoti dydžiai yra apýtiksliai. Jų reikšminių skaitmenų skaičius priklauso nuo matavimo prietaiso tikslumo.

Tikslūs dydžiai:

  1. Sutartiniai dydžiai (pvz., 1 m = 100 cm, 1 h = 3600 s). 
  2. Daiktų skaičius (pvz., bandymui reikės 4 mėgintuvėlių ir 2 kolbų).
  3. Cheminių formulių indeksai (pvz., H2O – vienoje vandens molekulėje yra tiksliai du vandenilio ir vienas deguonies atomas).
  4. Cheminių lygčių koeficientai (pvz., 2H2 + O2 → 2H2O, su viena deguonies molekule reaguoja tiksliai dvi vandenilio molekulės).

Veiksmai su apytiksliais dydžiais: sudėtis ir atimtis

Kai atliekame skaičiavimus, jų galutinį rezultatą reikia suapvalinti taip, kad liktų tik reikšminiai skaitmenys. Skaičiavimo rezultato reikšminių skaitmenų skaičius priklauso nuo pradinių duomenų reikšminių skaitmenų skaičiaus.

1 pavyzdys

Analizinėmis svarstyklėmis pasverto kalio chlorido mėginio masė 15,2067 g. Kitas kalio chlorido mėginys pasvertas mažesnio tikslumo laboratorinėmis svarstyklėmis. Jo masė 145,10 g. Abu mėginiai suberti į vieną indą. Kokia yra bendra kalio chlorido masė?

Sprendimas

Sudėkime stulpeliu:

+ 15,2067 g 145,10?? g 160,3067 g 160,31 g

Komentaras. Klaustukais pažymėti antrojo mėginio nežinomi masės skaitmenys. Skaičiuotuvu su jais bus atliekami veiksmai, tarsi tai būtų nuliai, bet apie juos mes nieko nežinome. Tad paskutiniai skaitmenys – 6 ir 7 – gauti panaudojus tik pirmojo mėginio reikšminius skaitmenis. Antrojo mėginio masės tūkstantųjų ir dešimttūkstantųjų dalių nežinome. Todėl 6 ir 7 nėra reikšminiai skaitmenys.

Atsakymas: kalio chlorido masė 160,31 g.

Dydžių suma arba skirtumas po kablelio turi tiek reikšminių skaitmenų, kiek jų yra mažiausiai skaitmenų po kablelio turinčiame pradiniame duomenyje.

Apvalinimas ir papildomas skaitmuo

1 pavyzdyje paskutiniai du sumos skaitmenys (6 ir 7) nėra reikšminiai. Į juos atsižvelgiame tik apvalindami rezultatą. Rezultatą reikia suapvalinti, jeigu tai galutinis atsakymas. Jeigu gautą rezultatą naudosite tolesniems skaičiavimams, jo iš skaičiuotuvo ekrano neištrinkite, naudokite nesuapvalintą. Užrašant tarpinį rezultatą nereikia perrašyti visos skaičiuotuvo rodomos skaitmenų virtinės. Būtina užrašyti visus reikšminius ir vieną papildomą (rezervinį) skaitmenį (mūsų atveju rašytume 160,307 g). Taip darant išvengiama apvalinimo paklaidų kaupimosi.

Veiksmai su apytiksliais dydžiais: daugyba ir dalyba

Daugybos ir dalybos rezultatas turi tiek reikšminių skaitmenų, kiek jų yra mažiausiai reikšminių skaitmenų turinčiame pradiniame duomenyje.

2 pavyzdys

50 eurocentų monetos skersmuo 24,16 mm, storis 2,37 mm (išmatuota slankmačiu, kurio absoliučioji paklaida ± 0,01 mm), masė 7,8 g (išmatuota svarstyklėmis, kurių absoliučioji paklaida ± 0,1 g).

  1. Keliais reikšminiais skaitmenimis žinomas monetos skersmuo, storis ir masė?
  2. Apskaičiuokite monetos tūrį.
  3. Apskaičiuokite lydinio, iš kurio pagaminta moneta, tankį.

Sprendimas

  1. Skersmuo žinomas keturiais, storis – trimis, o masė – tik dviem reikšminiais skaitmenimis.
  2. Moneta yra ritinio formos. Ritinio tūris:

V = π · r2 · h;

V_{\left(\mathrm{monetos}\right)}=\pi\cdot\left(\frac{24,16\ \mathrm{mm}}{\ 2}\right)^2\cdot\ 2,37\ \mathrm{mm}=
1086,505896 mm3 1,09 · 103 mm3.

  1. Tankiui apskaičiuoti reikalingas monetos tūris. Tad b) dalies atsakymas yra tik tarpinis, o ne galutinis. Todėl skaičiuotuve galime palikti nesuapvalintą b) dalyje gautą rezultatą arba naudoti tūrį su papildomu skaitmeniu (t. y. 1087).

\mathrm{\rho}=\frac{m}{V};

\mathrm{\rho_{\left(lydinio\right)}=\frac{7,8\ \mathrm{g}}{1087\ \mathrm{mm^3}}=}7,157 ⋅ 10–3 g/mm3

7,2\cdot10^{-3}\ g/mm7,2 g/cm3.

Galutiniame atsakyme lieka tik du reikšminiai skaitmenys, nes masė žinoma tik dviem reikšminiais skaitmenimis.

Atsakymai: a) skersmuo – keturiais, storis – trimis, masė – dviem; b) 1,09 · 103 mm3; c) 7,2 g/cm3.

Papildomi paaiškinimai

Išsiaiškinkime kelis 2 pavyzdžio sprendimo aspektus.

  • Kodėl b) dalies atsakymas turi tik tris reikšminius skaitmenis?
    Moneta išmatuota slankmačiu, kurio absoliučioji paklaida ± 0,01 mm. Vadinasi, storis gali būti 2,36, 2,37 arba 2,38 mm. Į monetos tūrio skaičiavimo išraišką įsirašę šiuos skaičius atitinkamai gautume 1081,92...; 1086,50... ir 1091,09... . Matome, kad šimtųjų milimetro dalių paklaida gali pakeisti tūrio trečiąjį skaitmenį (jis yra 8 arba 9). Vadinasi, visi tolesni skaitmenys nieko nebereiškia, t. y. jie nėra reikšminiai.
  • ​Kodėl b) dalies atsakymą būtina rašyti skaičiaus standartine išraiška?
    ​Skaičių 1086,50... reikėjo suapvalinti iki trijų reikšminių skaitmenų. Rašyti 1090 nėra gerai, nes neaišku, ar paskutinis nulis yra reikšminis. Parašius standartine išraiška (1,09 · 103 mm3) šis klausimas išsprendžiamas.
  • Kokio tikslumo konstantas ir kitus žinynų duomenis vartojame?
    Sprendžiant b) dalį prireikė skaičiaus π. Konstantas ir kitus žinynų duomenis patartina naudoti su ne mažiau reikšminių skaitmenų, nei tokių skaitmenų yra matavimo duomenyse (mūsų atveju monetos matmenys yra matavimo duomenys, o skaičius π – žinyno duomuo). Jeigu pavartosime per mažai skaitmenų, skaičiavimo rezultatas bus mažiau tikslus. Pavartoję daugiau reikšminių skaitmenų, sumažinsime apvalinimo paklaidas. Skaičiaus π dydis jau įrašytas skaičiuotuve (yra atskiras skaičiuotuvo mygtukas, dažniausiai ši konstanta įrašyta dešimties reikšminių skaitmenų tikslumu). Tad galime tiesiog pasinaudoti šiuo mygtuku. Pavartoję didesnio tikslumo konstantą, skaičiavimo rezultato tikrai nepabloginsime.
  • Ar tikslūs duomenys keičia reikšminių skaitmenų skaičių?
    ​2 pavyzdžio b) dalyje monetos skersmuo dalijamas iš 2. Skersmuo yra dvigubai didesnis už spindulį. Tai susitarimas, o ne matavimo rezultatas. Mūsų sprendime 2 yra tikslusis skaičius, todėl skaičiavimo rezultato reikšminių skaitmenų skaičiaus nekeičia.

Klausimai ir užduotys

  1. Toliau pateiktas bandymo aprašymas. Kurie skaičiais parašyti dydžiai yra tikslūs, o kurie – apytiksliai? Jeigu dydis yra apytikslis, nurodykite, keliais reikšminiais skaitmenimis jis užrašytas.
    ​„Į 3 mėgintuvėlius įpilta po 5,50 ml druskos rūgšties. Į pirmąjį mėgintuvėlį įdėtas 0,100 g vario gabaliukas, į antrąjį – 2 cinko granulės, kurių kiekviena sveria 0,2 g. Į trečiąjį įlašinti 3 lašai universaliojo indikatoriaus.“
  2. Drėgnos medžiagos masė 15,1234 g. Tos pačios išdžiovintos medžiagos masė yra 15,0424 g. Apskaičiuokite išgaravusio vandens masę. Keliais reikšminiais skaitmenimis žinoma drėgnos medžiagos masė? Keliais reikšminiais skaitmenimis žinoma išgaravusio vandens masė? Paaiškinkite, kodėl išgaravusio vandens masė žinoma mažesniu reikšminių skaitmenų skaičiumi.
  3. Varinės skardos lakšto ilgis 12,35 cm, plotis 4,17 cm, storis 0,11 cm. Vario tankis 8,96 g/cm3. Apskaičiuokite varinės skardos masę. Nurodykite, keliais reikšminiais skaitmenimis pateik tas kiekvienas pradinis duomuo ir keliais reikšminiais skaitmenimis gauname atsakymą.
  4. Kai kuriose šalyse naudojamos monetos su skyle centre (1 pav.). Vienos tokios monetos skersmuo 20,18 ± 0,01 mm, storis 1,56 ± 0,01 mm, skylės skersmuo 3,54 ± 0,01 mm. Moneta kalama iš vario ir nikelio lydinio, kurio tankis 8943 kg/m3. Apskaičiuokite šios monetos masę. Atsakyme parašykite tik reikšminius skaitmenis.
1 pav.
Prašau palaukti