Gravitacija ir Keplerio dėsniai

Apibendrintas trečiasis Keplerio dėsnis leidžia iš stebėjimų nustatyti kosminių kūnų, apie kuriuos skrieja palydovai, masę. Jei palydovo masės atmesti negalima, randama bendra sistemos masė.

Apibendrinto trečiojo Keplerio dėsnio išvedimas

Tarkime, kad apie masės M kūną spindulio R apskritimine orbita greičiu ν tolygiai skrieja kitas daug mažesnės masės m kūnas, kuris pirmąjį kūną apskrieja per laiką T, įveikdamas per tą laiko tarpą kelią s = 2πR. Apskritimu skriejantį kūną veikianti gravitacijos jėga tuo pat metu yra ir tą kūną veikianti įcentrinė jėga:

F_gr = F_įc; (4.2.4)

m\frac{GM}{R^2}=m\frac{v^2}{R}. (4.2.5)

Suprastiname m ir išreiškiame ν:

\nu=\sqrt{\frac{GM}{R}}. (4.2.6) 

​Kadangi \nu=\frac{s}{t}=\frac{2\pi R}{T}, (4.2.7)

(4.2.7) išraišką įrašę į (4.2.6) gauname:

\frac{2\pi R}{T}=\sqrt{\frac{GM}{R}}.(4.2.8) 

Ją pertvarkome taip: \frac{R^3}{T^2}=M\frac{G}{4\pi^2}. (4.2.9)

Apskritiminės orbitos atveju didysis orbitos pusašis sutampa su orbitos spinduliu, a = R, o orbitinis periodas P = T. Kai palydovo masė m yra įskaitoma, ji pridedama prie pagrindinio kūno masės M. Tokiu būdu (4.2.9) išraiška tampa identiška (4.2.2) formulei – gauname apibendrintą trečiąjį Keplerio dėsnį.

Izaokas Niutonas (1643–1727) ir jo dėsniai

Anglų fizikas, matematikas ir astronomas Izaokas Niutonas padėjo pagrindus klasikinei mechanikai ir dangaus mechanikai. 1687 m. pasirodžiusiame veikale „Matematiniai gamtos filosofijos pagrindai“ jis aprašė dinamikos dėsnius (jie vadinami Niutono dėsniais) bei visuotinės traukos dėsnį ir pritaikė juos planetų bei Mėnulio judėjimui paaiškinti. Pažymėtina, kad visuotinės traukos dėsnį Niutonas išvedė bandydamas susieti kūnų judėjimą Žemėje ir kosmose. Jis padarė prielaidą, kad ta pati jėga, kuri traukia kūną link Žemės (pagal legendą – obuolį), traukia ir Mėnulį. Remdamasis dinamikos ir Keplerio dėsniais jis parodė, kad ši jėga greitai silpnėja didėjant atstumui tarp kūnų – ji yra atvirkščiai proporcinga atstumo kvadratui. Apie tarp kūnų esančią traukos jėgą dar iki Niutono samprotavo ir kiti mokslininkai. Nagrinėdamas Galilėjaus atrastųjų Jupiterio palydovų judėjimą 1666 m. apie tokią jėgą rašė Pizos universiteto profesorius Džovanis Alfonsas Borelis (Giovanni Alfonso Borelli, 1608–1679). Tais pačiais metais, greičiausiai remdamasis Borelio veikalu, Karališkojoje mokslų draugijoje apie tai pranešimą perskaitė ir anglų fizikas Robertas Hukas (Robert Hooke, 1635–1703). Tačiau nė vienas iš jų neatskleidė, kaip ši jėga priklauso nuo atstumo, ir nepaaiškino Keplerio dėsnių. Borelio, Keplerio ir Galilėjaus įtaką savo darbams pripažino ir pats Niutonas.

Niutono dėsniai

Pirmàsis (inercijos) dėsnis: kūnas yra rimties būsenos arba juda tiesiai ir tolygiai (t. y. pastoviu greičiu), kai jo neveikia išorinės jėgos arba šių jėgų atstojamoji (jėgų suma) lygi nuliui. Iš šio dėsnio išplaukia, kad kūnas gali judėti nesustodamas pastoviu greičiu visą amžinybę (arba išlaikyti rimtį), kai nėra veikiamas išorinės jėgos. Taigi idealiomis sąlygomis judėjimui palaikyti nereikalinga energija. Atskaitos sistemos, kuriose galioja pirmasis Niutono dėsnis, vadinamos inercinėmis, todėl šis dėsnis dar vadinamas inercijos dėsniu.

Antràsis (póveikio) dėsnis: inercinėje sistemoje kūno judesio kiekio kitimo greitis yra proporcingas kūną veikiančiai išorinei jėgų atstojamajai:

$$ \mathrm{\Sigma }\mathit{F}=\frac{∆\overrightarrow{\mathit{p}}}{∆\mathit{t}}.$$ (4.2.10)

Jùdesio kiekiù vadinama kūno masės ir greičio sandauga:

\vec{p}=m\vec{v}. (4.2.11)

Kai kūno masė nesikeičia, turime:

$$ \frac{∆\overrightarrow{\mathit{p}}}{∆\mathit{t}}=\mathit{m}\frac{∆\overrightarrow{v}}{∆t}=m\overrightarrow{\mathit{a}},$$ (4.2.12)

todėl antrąjį Niutono dėsnį tokiu atveju galima suformuluoti taip: kūno, kurio masė nesikeičia, įgyjamas pagreitis yra tiesiogiai proporcingas jį veikiančiai išorinei jėgų atstojamajai ir atvirkščiai proporcingas kūno masei:

$$ \overrightarrow{\mathit{a}}=\frac{\mathrm{\Sigma }\overrightarrow{F}}{m}.$$ (4.2.13)

Trečiàsis (veiksmo ir atóveiksmio) dėsnis: dviejų kūnų sąveikos jėgos yra lygaus dydžio ir priešingų krypčių:

$$ \overrightarrow{{\mathit{F}}_{\mathbf{1}}}=-\overrightarrow{{\mathit{F}}_{\mathbf{2}}}.$$ (4.2.14)

Jei vienas kūnas veikia kitą kūną kokio nors dydžio jėga, tai kitas kūnas veikia pirmąjį tokio pat dydžio priešingos krypties jėga, pavyzdžiui, kai spaudžiate spyruoklę, ji tokia pat jėga priešinasi spaudimui. Kai Žemė traukia nuo obels krintantį obuolį, tai ir obuolys tokia pat jėga traukia Žemę. Tačiau iš antrojo Niutono dėsnio išplaukia, kad dėl Žemės didelės masės jai suteikiamas pagreitis yra nykstamai mažas, palyginti su obuoliui suteikiamu pagreičiu, todėl Žemės greitis, galima sakyti, nepakinta, o obuolys nukrinta dideliu greičiu.

Klausimai ir užduotys

1. Kokiu fizikos dėsniu remiantis paaiškinamas planetų judėjimas?
2. Kaip galima išmatuoti kosminio objekto masę?
3. Apskaičiuokite centrinio kūno masę, kai aplink jį skriejančio kosminio zondo orbitinis periodas 5 valandos 24 minutės 42 sekundės, o orbitos didysis pusašis 684,58 km.
4. Naudodamiesi kompiuterio programėle išnagrinėkite Keplerio dėsnius.