Kaip pakeisti orbitą

Klausimai ir užduotys

1. Kaip reikia pakeisti raketos greitį, kai ją reikia perkelti į mažesnio spindulio orbitą, ir kaip, kai perskrendama į didesnio spindulio orbitą?
2. Aprašykite skrydžio seką, kaip erdvėlaivis su mažiausiomis energijos sąnaudomis nuskries:
   1. iš Žemės orbitos iki Veneros ir liks skrieti Veneros orbita;
   2. iš Žemės orbitos iki Marso ir liks skrieti Marso orbita.

Judesio kiekio tvermės dėsnis

Kai mes einame, atsispiriame nuo žemės, kai plaukiame, – nuo vandens. Lėktuvai skrenda, nes, sparnui skrodžiant orą, dėl jo formos atsiranda keliamoji jėga. Beorėje erdvėje nėra nuo ko „atsispirti“. Tačiau ten esantys erdvėlaiviai vis tiek sugeba manevruoti, keisti greitį ir orbitą. Kaip tai įmanoma? Atsakymas – jùdesio kiẽkio tvermės dėsnis, kurį pirmasis suformulavo prancūzų filosofas, matematikas ir fizikas Renė Dekartas (René Descartes, 1596–1650), o teoriškai pagrindė Izaokas Niutonas remdamasis antruoju ir trečiuoju jo vardu pavadintais dėsniais.

Judesio kiekiu p vadinama kūno masės ir greičio sandauga – tai vektorinis dydis (\vec{p}=m\vec{\nu} ). Judesio kiekio tvermės dėsnis teigia, kad uždaroje sistemoje visų kūnų judesio kiekių suma yra pastovi, t. y.

\Sigma\vec{p}=\mathrm{const.} (4.5.1)

Raketai skriejant orbita išjungtais varikliais, jos nešamo kuro ir likusios raketos masės judesio kiekių suma atskaitos sistemoje, susietoje su raketa, yra lygi nuliui (nes abiejų komponentų greičiai raketos atžvilgiu lygūs nuliui). Kai raketos varikliai įjungiami, iš jos besiveržiančių dujų srauto ir likusios raketos masės judesio kiekių suma ir toliau turi likti lygi nuliui. Jei dujos lekia priešinga kryptimi, negu juda raketa, jų greičių vektoriai yra priešingos krypties, todėl

m_{\mathrm{r}}\Delta\nu_{\mathrm{r}}=m_{\mathrm{d}}\nu_{\mathrm{d}}; (4.5.2)

čia m_r ir Δv_r – raketos masė ir jos greičio pokytis, o m_d ir v_d – išmetamų per sekundę dujų masė ir jų greitis raketos atžvilgiu (išmetimo greitis).

Iš to išplaukia, kad raketos greičio pokytis\Delta\nu_{\mathrm{r}}=\frac{m_{\mathrm{d}}}{m_{\mathrm{r}}}\nu_{\mathrm{d}}. (4.5.3)

Tipinis dujų išmetimo greitis raketose siekia 3–4 km/s, tačiau dėl išmetamų dujų santykinai mažos masės raketos greitis per vieną trumpą pliūpsnį pakinta labai nedaug. Didesnis pokytis pasiekiamas, kai pliūpsnis trunka ilgiau arba atliekama trumpų pliūpsnių serija. Pažymėtina, kad per kiekvieną kitą pliūpsnį greičio pokytis šiek tiek padidėja, nes senkant kurui mažėja raketos masė, t. y. didėja santykis \frac{m_{\mathrm{d}}}{m_{\mathrm{r}}}.

* * *

Pritaikykime judesio kiekio tvermės dėsnį kosminių kūnų susidūrimo atvejui. Tarkime, kad į asteroidą, kurio masė M ir greitis ν_M, greičiu ν_m smogia m masės meteoritas ir jame lieka. Kadangi bendras judesio kiekis prieš smūgį ir po jo nesikeičia, tai

m\vec{\nu_m}+M\vec{\nu_M}=\left(m+M\right)\vec{\nu}. (4.5.4)

Asteroido greitis po smūgio

\vec{\nu}=\frac{m\vec{\nu_m}+M\vec{\nu_M}}{\left(M+m\right)}.  (4.5.5)

Tarkime, kad atskaitos sistema susieta su asteroidu (t. y. ν_M = 0), tada po smūgio asteroido greičio pokyčio projekcijos X ir Y ašyse bus:

\Delta\nu_x=\frac{m\nu_{mx}}{\left(M+m\right)}, (4.5.6a)

\Delta\nu_y=\frac{m\nu_{my}}{\left(M+m\right)}, (4.5.6b)

čia ν_mx – meteorito greičio asteroido atžvilgiu projekcija X ašyje, o ν_my – projekcija Y ašyje (jei ji teigiama, asteroido greitis padidėja, o jei neigiama, sumažėja).

Visas greičio pokytis $$ ∆v = \sqrt{{{\nu }_{mx}}^2\mathit{ }+\mathit{ }{{\nu }_{my}}^2}.$$ (4.5.7)

Jei meteorito greitis asteroido atžvilgiu 50 km/s, o jo masė 100 000 kartų mažesnė už asteroido masę, tai tokio meteorito smūgis kaktomuša asteroido greitį sumažintų 0,5 m/s.